从定义到实战：全面理解“完全析因试验” （上）

之前的文章重点介绍了试验设计（Design of Experiments， DoE）的背景知识，包括三大原则、基本术语（特别是交互作用）、步骤、目的、软件等。本文开始介绍具体工具，第一个工具是DoE中最基础也是最核心的设计类型——完全析因试验（Complete Factorial Experiments）。之前多次提到，完全析因试验是伟大的统计学家Ronald Fisher爵士在在农田科学试验中实践出来的方法，至今已有100多年的历史，但该领域的关键思想并没有变化[2]，本文也不过是新瓶装旧酒，梳理我自己的思考，也希望对读者们有所启发。

一、完全析因试验（Complete Factorial Experiments）的定义

析因设计是指，在这类试验中的每一次完全试验或每一次重复中，这些因子（factor）和水平（level）的所有可能的组合都被研究到。[1] 

完全析因试验是指，因子水平的每种组合使用相同次数的析因试验。[2]

Factorial源自Factor（因子），”factorial experiment”可以直译为”因子试验”，但更常意译为”析因试验”，更贴合实际应用。

如果只有一个因子，根据水平多少，可以使用简单对比试验和One-way ANOVA；如果有两个及以上因子以及多个水平，则推荐使用析因试验，包括完全析因和部分析因等。而完全析因试验常用两水平，最多不超过三水平。

Complete强调”完全重复”，即因子和水平的每种组合被研究到，并进行相同的试验次数。”部分析因试验”，只研究一部分因子和水平的组合，如下图所示，代价是主效应和交互作用之间存在混淆（污染），未来会在部分析因试验中详细介绍。

如下图所示，以最常用的两水平试验为例，因子数量从2增加到4，完全析因试验的试验次数分别是4、8、16，试验次数随因子数量呈指数级增加。

完全析因试验的因子数量一般不超过4个，因为4因子2水平一次重复就已经达到16次试验；为了估计试验误差，提高试验精度，有时会增加一次完全重复，总共需要32 次试验。32次试验通常被认为是工业界在资源和时间允许下，进行一次深入分析的试验上限，兼顾试验效率和试验精度。

在Design Expert的析因试验中，两水平完全析因试验（Factorial Design – Regular Two-Level）细分为完全随机（Randomized）和裂区（Split-Plot）两种情况，最常用的还是前者，后者暂且不讲，以后遇到合适的案例再做分享。

二、完全析因试验的定位和目的

正如我们之前在试验设计DoE的目标和类型提到，试验设计通常遵循“筛选 → 分析 → 优化”的逻辑，完全析因试验是”分析“阶段的工具，有时又能兼顾“优化”功能。

通过前期的筛选试验，不论用经典DoE的部分析因试验，还是用谢宁DoE的线索生成工具，我们要从众多潜在因素中识别出1到4个重要因子。

如果筛选出1个因子，该因子就是根因（root cause），之后进入验证阶段。

如果筛选出2到4个因子，则进入分析阶段，使用完全析因试验验证和量化关键因子及其相互作用。

在谢恩方法（Shainin，又译为谢宁）和六西格玛改进流程中，试验设计之后还有“统计过程控制”，以保持试验设计的效果。

三、完全析因试验的实践流程

在Design Expert中，完全析因试验被分成四个阶段，如下所示，下面分别展开介绍

四、试验设计——斟酌每一个细节

这一阶段可以对应于试验设计DoE的步骤的前五步，具体输出结论汇总在如下的Design Expert工作表中，包括以下内容：

五、统计分析——让数据“说话”

完成试验并收集数据后，下一步就是将数据导入Design Expert等DoE软件进行统计分析。

统计分析的目的是使用量化的语言，明确哪些是显著因子，哪些是不显著因子，是否存在显著的交互作用，并建立因子与响应之间的数学模型。一般的2^k设计的统计分析步骤如下[1]：

1. 估计因子效应
2. 形成初始模型 （全模型，即包括所有主效应和交互作用）
3. 进行统计检验
4. 改进模型（移走不显著项）
5. 分析残差（模型适合性检验，线性假定）
6. 解释结果

后续我会通过一些实践案例，演示Design Expert的操作细节和异常处理方式。

六、优化——将洞察转化为行动

DoE中的高低水平，未必是我们想要的设置水平，因为我们要的是响应变量达到特定目标（望大、望小、望目，即最大化、最小化、趋近特定目标值），比如强度越高越好，杂质含量越低越好；同时还要考虑因子的约束条件，比如速度越快越好，温度只能在特定范围内调节，等等。

优化就是基于因子和响应的约束条件（criteria），软件基于统计分析的模型，输出一系列最优因子水平的组合，使响应变量达到特定目标。

有的项目，存在多个响应变量，同时响应变量之间还存在矛盾，同时多个因子也存在约束条件，这样的项目，最能体现DoE及DoE软件的价值，因为手动计算已经几乎不可能。

下图是来自Design Expert案例[4]，三个红色因子，两个蓝色响应，模型根据两个响应的目标选择对应的因子水平。

七、预测与验证——从数据到专业经验

预测与优化不同，预测是软件根据输入的因子水平组合，通过模型计算出对应的响应值及其置信区间。

在实际生产中，可以用来预测不同操作条件下的结果。同时，将实际试验结果与模型预测结果做对比，验证模型在真实世界中的有效性。

如果验证效果很好，DoE统计分析结果和模型，就是一份宝贵的结论，用来提高我们的专业经验。

以上只是一个非常概括的标准流程介绍，实际工作中有很多的特殊情况，比如中心点试验发现模型存在弯曲（存在高阶非线性项），比如响应变量的信噪比不够高，比如模型适合性检验不显著，比如响应需要进行转换，等等，以后有机会展开介绍。后续会用一篇案例分享，介绍如何使用Design Expert操作完全析因试验。

参考文献

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