本文简单总结蓝皮书第四章“统计基础” – 4.1 正态总体的抽样分布知识，只列重点，梳理我的思考，细节内容还要翻书。参数估计（点，区间）单独再总结一篇文章。
之前已经整理了第五章假设检验（1234部分）、第11章测量系统分析、第12章SPC这几部分的内容。
2022-7-21 今天重读蓝皮书，刚想明白了下面两个问题和书中的一个图，如下，想通了感觉好简单（但是这本来就是非常基础的知识点啊）。
问题：一个总体分布，均值u，标准差𝛅，为什么抽样n次得到的样本，标准差=𝛅/(sqrt(n))（sqrt是开根号）。为什么样本标准差反而变小了，得到的样本分布比总体分布更瘦了？
答案：如果一个总体分布是一万名学生的身高，那随机抽取一万名（取完放回），样本分布和原来的总体分布重叠吗？ 注意抽样是取出又放回，而且总体均值的学生数量是最多的。所以抽取一万名学生，并不是把总体挨着抽了一遍，最高和最矮的学生说不定一次没抽到呢（计算一下概率，低于万里挑一？）。这样就明白了怎样“通过抽样推测总体的情况”，特别是根据样本标准差计算总体的标准差；有了总体分布，然后就很容易知道怎样“分析样本时候属于某个总体”，
问题2: 下图的两个矮胖的总体分布，如何确定一个样本属于哪个分布？
答案：只抽样一次，肯定无法区分。通过多次抽样（抽样次数多少正好？正好的定义是什么），抽样分布变窄变高，两个总体分布对应的n次抽样分布能分开（怎样定义），就可以判断样本属于哪个总体了。
4.1.1 样本均值的分布——标准正态分布及t分布
统计的基础是抽样，通过抽样去“推测”总体的情况，分析样本是否属于某个总体，等。
抽样分布是一种“可视化的描述方式”，分布曲线可以告诉我们位置(center)和波动（spread，胖瘦），center和spread也是最基本的统计数字。
抽样分布对应分布曲线，曲线都有参数，通过比较参数，判断分布之间是否相同。
1. 分布曲线：抽样分布，正态分布，准正态分布，t分布
抽样分布：从总体中抽样一次，得到的分布曲线。（这么说其实是不对的，一次抽样不能推导出分布曲线。之前写这句话肯定没理解清楚P184的这句话：“如果只抽取一个样本，这时它本身就是样本均值，样本均值的分布与原来总体的分布完全一样”。
对于正态总体的统计量进行抽样分析，反复抽样n次，得到一组样本（n个数据），分析该样本的统计量比如“均值“·，其分布服从正态分布还是t分布。【这里面有一个概率问题，即一次抽样的结果，可能和总体分布相近，也可能偏的比较大，就像分析收入分布，如果抽到比尔盖茨，那就偏差太大了】（2022-7-21 这儿之前又理解错了）
“正态总体”是抽样分布的前提，如果总体本身不是正态分布，那就研究抽样分布就没有意义了。如果不能确定总体的情况，就应该进行“正态检验”！
抽样分布：从一个总体中，反复抽取一定数量的抽样量，所对应的分布。比如从南开大学随机找100名大一新生，做一个简单的生活费调查。总体是所有的新生，统计量是每月生活费，抽样量是100。再比如研究膨润土活化添加量对铸造GCS性能的影响，一个样品，分成三份样品，各测量一遍GCS。这儿总体是”某活化添加量对应的膨润土样品“，统计量是GCS强度，抽样量是3。
当然要绘制这个分布曲线，就需要”反复抽样”，但是分析一次抽样的统计量数据，则一次抽样。
抽样量——抽样量是抽样分布的关键变量
这儿的关键问题就是“抽样量“，抽样样本的波动和样本量关系密切！这也对应于《思考，快与慢》中所说的”大数定理“和”小数定理“的含义，抽样量大（大数）得到的分布更接近真实情况，不容易出现异常统计量；如果只抽取几个样本，很容易得到极端的数据。
只要抽样量不要太少（具体是多少，答案是中心极限定理），我们通过抽样得到的都是“准正态分布”，就可以直接用正态分布的规律。
但“抽样量不足”时，抽样分布就不应该直接用正态分布，而是应该用t分布（student分布），如果用正态分布就会有比较大的误差，因为抽样量不足时，t分布更“胖”，不符合正态分布的“68-95-99.7规律”。当抽样量足够高时，t分布就和正态分布(Z分布）一样了。
多少的抽样量算“不足”？ 经验看，自由度超过30以后，二者差异很小，此时完全可以用标准分布替代t分布。
如何定量判断合适的抽样量？ 答案是“统计检验功效”，具体见“5.8样本量的计算” 《六西格玛管理统计指南》第五章假设检验-4 样本量和统计功效
正态分布和t分布的区别是：前者与抽样量无关，因为正态分布是一种“理想的、抽样量够大，且通过重复抽样”得到分布曲线，默认抽样量是足够大的。 实际抽样量当然是有限的。（正态）
但是只要达到一定的数量（具体是多少），分布曲线与正态分布曲线的重叠程度足够高（如何定量衡量），那就直接用正态分布曲线解决问题即可。
t分布（Student 分布）
而t分布是与抽样量有关的曲线，所以不仅一条，随着抽样量n的增加，t分布曲线逐渐趋近于正态分布曲线。
2. 何时用t分布？
答案：抽样量比较少的情况，比如只做了五次重复测试，甚至只有可怜的两三次。
具体而言，可以看“正态性检验”
3. 正态性检验
许多统计问题的解决依赖于数据服从正态分布，因为我们必须先判定数据是否服从正态分布。P114
4. 我们什么时候还会用到分布曲线？
4.1.2 双样本均值差的分布
“均值差”的分布，不是均值分布的差；对于前者，这其实还是一个单样本的均值和标准差的计算，很简单。
4.1.3 正态样本方差s^2的分布——卡方分布
比较样本之间的均值，直接加减即可，当然要说谁大谁小，还要借助标准差，进行严格的假设检验。
而要比较样本之间的标准差，千万不要直接标准差加减，这里需要用卡方检验chi-squre。
卡方分布是从正态分布中随机选出n个样本，其方差的分布情况。（重复抽样，得到分布；不是只抽一次）。
n越大（抽样量），卡方分布越向右倾斜。
我们知道标准正态分布的分布曲线，也知道它的卡方分布。
然后我们就可以比较分布曲线之间是否相同，“胖瘦”对比，利用的就是卡方分布。
拟合优度检验，同样是比较分布之间的相似性。
4.1.4 两个独立的正态样本方差之比——F分布
卡方分布只是分布曲线，两种分布之间的对比，使用的是F分布。
用途：判断两个正态总体方差是否相等（方差比较），多个样本之间的方差比较（ANOVA分析）。
标准差以内的百分比，更精确的数字是68.27%、95.45%及99.73%。
1. 参数的点估计
2. 参数的区间估计
Note：
2020.9.16 重新思考“分布曲线”第一部分
2020.9.29 简单更新
2022.7.21 更新第一部分
2022.8.23 简单更新第一部分发布，点估计和参数估计以后单独整理发布。