《女士品茶》第9章 钟型曲线
什么是中心极限定理？
大量数据的平均值拥有某种统计分布。中心极限定理是说，不管初始数据来自何处，这种分布都可以用正态概率分布来近似。正态概率分布就是拉普拉斯的误差函数，它有时又叫“高斯分布”。大众读物将其简单描述为“钟形曲线”。
这个猜想之所以被普遍承认，是因为它允许我们用正态分布描述大部分数据。一旦研究人员发现正态分布，他们需要解决的数学问题就变得容易多了。正态分布具有一些非常好的特性。如果两个随机变量服从正态分布，那么它们的和也服从正态分布。简单地说，正态分布变量的所有加减组合都服从正态分布。所以，正态分布变量导出的许多统计量也服从正态分布。
在卡尔·皮尔逊提出的四个参数中，正态分布只有均值和标准差两个参数，对称度和峰度都是零。一旦知道这两个数字，其他情形就都一目了然了。费希尔证明，他只需要知道一组数据的均值和标准差的估计值就够了，它们包含了这些数据的所有信息。他不需要保留任何原始测量结果，因为这两个数字包含了所有可能从测量值中发现的信息。如果测量数据足够多，能对均值和标准差做出足够精确的估计，那么就不需要再进行测量了，继续收集测量数据只会浪费时间。例如，如果你想确定某个正态分布两个参数的两位有效数字，那么你仅需收集大约50个测量值。
蓝皮书《六西格玛管理统计指南》第2章 2.5中心极限定理
第2章概率论基础知识，先介绍了“随机变量及分布”，随机变量的数字特征（概率密度函数的参数），连续性分布，离散型分布；最后介绍中心极限定理。
该部分摘抄和图片如下：
2.5.1 样本平均值的标准差性质
我们研究统计学的时候，各样本间就是相互独立取值的有相同分布的随机变量。
如果有多个随机变量，它们相互独立，而且方差都相等（记为σ^2）。
x bar的方差与原来X的方差相比，X bar的方差是原来X的方差的1/n。 写成标准差（常称为均值的标准误）的形式：
σ（x bar）=σ/（sqrt（n））
要注意的是，该式的成立并未要求原来分布为正态，这两个公式对于任何分布都是正确的。
（x bar = 从总体X中随机取出n个x，其平均值）
2.5.2 样本平均值的分布性质
大家容易理解，两个随机变量的分布类型不同，那么各自抽取10个样本（也就是10个独立同分布的随机变量），两个随机变量各自形成X的分布当然也会不同。但是，大量实践表明，它们都与正态分布接近。概率论的理论证明了这样一个重要定理，我们称之为中心极限定理，通俗的描述就是：
1. 随着样本量的无限增长，无论原来的分布是什么（离散型分布或连续型分布，正态分布或非正态分布），X的分布总会趋向于正态分布。
2. 实际工作中，只要n较大时，我们就可以认为X的分布近似于正态分布。当分布对称时，n＝5已经近似得很好；当分布严重偏斜时，n＝30也会近似得很好。
此定理的严格证明不再给出，但我们给出几个例子加深理解其含义。
我们选“凹三角”分布和“均匀分布”作为对称分布的代表。n＝1代表原分布； n=2代表两个同样随机变量的平均值的分布； n=5代表5个同样随机变量的平均值的分布。从图2-58中上两排图可以看出，对于对称分布，5个样本的平均值的分布已经与正态分布很接近了。我们选指数分布作为严重偏斜分布的代表，5个样本的平均值的分布形状离正态分布还很远，但是30个样本的平均值的分布则与正态分布很接近了。我们在数据文件“BS_中心极限定理.MTW”中，给出了示意性的数据供大家参考。如果需要正式进行正态性检验，则要在学习第5章之后才能实行。
2022-9-3 以上是两本书中的相关内容，以下是我自己的理解，不一定正确，以后回顾更新纠正：
在实际工作中，某些测试的重复次数，就像中心极限定理中的抽样次数n，经常我们只测试一次，如果我们知道总体是符合正态分布，那n=1倒也够用；相当于从总体为“凹三角”分布中重复5次。
对于一些重要的性能验证，一般是测试3次甚至5次，这里面的默认前提是，总体分布比较对称，至少比上文中的“凹三角”分布更接近正态分布，那是否3个样本的平均值的分布，就已经与正态分布很接近了呢。
当然，如果我们有意识的思考要研究变量对应总体分布，更有助于确定抽样次数。比如最近碰到的一个项目，同事对泡棉胶带的静态挂重测试，常规就是重复3次，最常见的情况是全过、全不过的情况，那足以说明这个样品的质量好坏，（正态分布的单尾假设检验）。偶尔会有三个过一个的情况，就需要重新测试，以提高信心。
2022-9-3